0. 前言

前文已经完成了连续性方程（质量方程），动量方程和能量方程的推导和讨论。

本文主要讨论

• 通用方程的推导
• 不同角度的推导
• 理解数学表达的物理意义

1. 通用方程

通过前文的讨论，可以看到无论是什么物理量总是有雷诺输运定理。

回忆雷诺输运定理有

\[ \bigg(\frac{dB}{dt}\bigg)_{MV} = \int_V\bigg[\frac{\partial}{\partial t}(\rho b) + \nabla \cdot (\rho U b)\bigg]dV = \int_V\bigg[\frac{D}{D t}(\rho b) + \rho b \nabla \cdot U\bigg]dV \]

对于一个系统，物理量 \(\phi\) 总是有

物质体的物理量变化 A = 经过控制体表面的通量变化 B + 控制体内部的产生/消失 C

change of \(\phi\) over time \(\Delta t\) within the material volume (MV) - A

\(=\)

surface flux of \(\phi\) over time \(\Delta t\) across the control volume - B

\(+\)

source/sink of \(\phi\) over time \(\Delta t\) within control volume - C

对于第一项 A

结合雷诺输运定理有

\[ A = \frac{d}{dt}\bigg(\int_{MV}(\rho\phi )dV\bigg) = \int_{V}\bigg[\frac{\partial}{\partial t}(\rho\phi) + \nabla\cdot(\rho U\phi)\bigg]dV \]

基于前文速度散度和雷诺定理的讨论，我们可以理解 \(\rho U \phi\) 本质上表示流动中物理量 \(\phi\) 的输运，称为对流通量 (convective flux)。

我们定义对流通量 (convective flux)

\[F^{C} = \rho U \phi\]

对于第二项 B

第二项是物理量 \(\phi\) 由于控制体表面上的物理现象而发生的变化。

我们另外定义扩散通量 (diffusion flux)

\[F^{D} = -\Gamma^{\phi}\nabla \phi\]

有（整理用到散度定理）

\[B = -\int_{\partial V} F^{D}\cdot \vec ndS = -\int_{V} \nabla\cdot F^{D}dV = \int_V\nabla\cdot(\Gamma^{\phi}\nabla\phi)dV\]

对于第三项 C

第三项是物理量 \(\phi\) 由于控制体体积上的物理现象而发生的变化。

\[C = \int_V S_{\phi}dV\]

综上有

\[\int_{V} \bigg[\frac{\partial}{\partial t}(\rho\phi) + \nabla\cdot(\rho\phi U)\bigg]dV = \int_V\nabla\cdot(\Gamma^{\phi}\nabla\phi)dV + \int_V S_{\phi}dV\]

我们停下脚步考虑一下输运过程中的物理本质。

对于我们所研究的流体来说，因为对流、扩散的物理现象，总是应该有以下的守恒关系

控制体的物理量的增加（正号） \(=\) 因对流机制通过控制体边界的物理量流入（与控制体表面方向相反，负号） \(+\) 因扩散机制通过控制体边界的物理量流出（与控制体表面方向相同，正号） \(+\) 因产生源的物理量变化（正号）

通用守恒方程总结为

\[\frac{\partial}{\partial t}(\rho\phi) + \nabla\cdot(\rho\phi U) - \nabla\cdot(\Gamma^{\phi}\nabla\phi) = S_{\phi}\]

这个表达式的四大项就对应了物理本质的四大项，即时间项（当地时间变化）、对流项（对流变化）、扩散项（基于表面的扩散变化）、源项（基于体积的变化）。

有的读者可能会对繁杂的扩散项、粘性项等讨论感到迷惑，这里需要做一点补充讨论。

上文提到的扩散项是广义扩散项，本质上包含着质量方程的质量扩散、动量方程的动量扩散和能量方程的能量扩散。

前文在讨论质量方程的时候，并没有讨论物质扩散的情况。物质扩散或组分扩散一般偏向化工化学材料专业，以后在遇到的时候会特别讨论。

对比之前分别推导出的 N-S 方程

1. 质量方程

\[\frac{\partial}{\partial t}\rho + \nabla\cdot(\rho U) = 0\]

2. 动量方程

\[\frac{\partial}{\partial t}(\rho U) + \nabla \cdot (\rho UU) = \nabla\cdot(\mu\nabla U)-\nabla p + Q\]

3. 能量方程

\[\frac{\partial}{\partial t}(\rho c_pT) + \nabla\cdot(\rho c_p U T) = \nabla\cdot(k\nabla T) + Q^T\]

总结有通用形式基本方程

\[\frac{\partial}{\partial t}(\rho \phi) + \nabla \cdot (\rho U\phi) = \nabla\cdot(\Gamma\nabla\phi) + S_{\phi}\]

从左至右，我们依次称为：时间项（瞬态项）、对流项、扩散项、源项。

2. 小结

到此为止，流体动力学的基本方程已经大体讨论结束。

希望读者能快速的跨过计算流体动力学的这第一道坎。

本文完成讨论

• 通用方程的推导
• 不同角度的推导
• 理解数学表达的物理意义

References

[1] The Finite Volume Method in Computational Fluid Dynamics, https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-16874-6

[2] Computational fluid dynamics : the basics with applications, https://searchworks.stanford.edu/view/2989631

[3] Mathematics, Numerics, Derivations and OpenFOAM®, https://holzmann-cfd.com/community/publications/mathematics-numerics-derivations-and-openfoam-free

[4] Notes on Computational Fluid Dynamics: General Principles, https://doc.cfd.direct/notes/cfd-general-principles/

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