0. 前言

虽然现在人们把问题所对应的质量、动量和能量方程组的求解统称为求解 Navier-Stokes 方程，但是狭义上的 NS 方程特指动量方程。

1822 年，法国工程师、物理学家 Claude-Louis Navier 在研究黏性流体时首次写出带有黏性项的流体方程。

1845 年，英国数学家、物理学家 George Gabriel Stokes 采用了连续介质力学方法更系统地推导出流体运动方程，并特别明确了粘性应力张量与速度梯度的线性关系（即“牛顿流体”模型）。

通过之后的讨论，我们会了解 NS 动量方程的求解困难，其含有非线性对流项，涉及物理量具有强耦合性，且具有偏微分方程的复杂数学性质。方程涉及的湍流研究更是人类的世纪问题。

至于动量方程，物理上本质是基于动量方程的守恒，即

\[ F = m \vec{a} \]

本文主要讨论

• 动量方程的推导
• 不同角度的推导
• 理解数学表达的物理意义

1. 分量形式

假设我们取一个无穷小物质体微元模型。

对该物质体微元进行受理分析

考虑 \(x\) 方向，有

\[ F_{x} = m a_{x} \]

物质体微元的受力可以分成 2 部分

• 体积力，直接作用在整个物质体微元的体积上，与体积（质量）有紧密关系的超距离作用力，比如重力、电磁力等
• 表面力，直接作用在物质体微元的表面，与面积有紧密关系的接触作用力，只有两个来源即：外部流体包围产生的压力，外部流体推拉摩擦产生的粘性力（粘性正应力、粘性切应力）

正应力和切应力都依赖于流体的速度梯度，和形变的速率成正比。应力越大，形变的速度越快。大多数粘性流动中，粘性正应力都比粘性切应力小的多，乃至可以忽略不计。当法向速度梯度很大时 (例如激波内部)，正应力就变得重要。我们约定用 \(\tau_{ij}\) 表示 作用在垂直于 \(i\) 轴的平面沿着 \(j\) 方向的粘性应力。

在 \(x\) 方向上的表面力有

\[ \begin{aligned} pdydz - (p+\frac{\partial p}{\partial x}dx)dydz \\ +(\tau_{xx}+\frac{\partial\tau_{xx}}{\partial x}dx)dydz - \tau_{xx}dydz \\ +(\tau_{yx} + \frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}dy)dxdz- \tau_{yx}dxdz \\ +(\tau_{zx} + \frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}dz)dxdy - \tau_{zx}dxdy \end{aligned} \]

简化整理有

\[ -\frac{\partial p}{\partial x}dxdydz + \frac{\partial\tau_{xx}}{\partial x}dxdydz +\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}dydxdz + \frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}dzdxdy \]

考虑上微元受到的体积力（重力）为

\[ \rho f_{x}dxdydz \]

我们分析出图中 \(x\) 方向的所有力 \(F_{x}\) 为

\[ \begin{align*} F_{x} &= \bigg(- \frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z} + \rho f_{x} \bigg)dxdydz \end{align*} \]

该无穷小物质体微元的质量为

\[ m = \rho dxdydz \]

在 \(x\) 方向上的加速度为

\[ a_{x} = \frac{Du}{Dt} \]

可以得到 \(x\) 方向上的动量方程为

\[ \rho\frac{Du}{Dt} dxdydz= \bigg(- \frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z} + \rho f_{x} \bigg)dxdydz \]

整理后为

\[ \rho\frac{Du}{Dt} = - \frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z} + \rho f_{x} \]

同样在 \(y\) 和 \(z\) 方向上有

\[ \rho\frac{Dv}{Dt} = -\frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zy}}{\partial z} + \rho f_{y} \]\[ \rho\frac{Dw}{Dt} = -\frac{\partial p}{\partial z} + \frac{\partial\tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zz}}{\partial z} + \rho f_{z} \]

根据上一节的推导【物质导数】即

\[\rho\frac{Db}{Dt} = \rho\frac{\partial b}{\partial t} + \rho U\cdot \nabla b = \frac{\partial (\rho b)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho Ub)\]

带入整理动量方程，以 \(x\) 方向为例有

\[ \rho\frac{Du}{Dt} = \rho\frac{\partial u}{\partial t} + \rho U \cdot \nabla u = \frac{\partial (\rho u)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho u U) \]

1.1. NS 方程

最终有 NS 方程

\[ \frac{\partial (\rho u)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho u U) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z} + \rho f_{x} \]\[ \frac{\partial (\rho v)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho v U) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zy}}{\partial z} + \rho f_{y} \]\[ \frac{\partial (\rho w)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho w U) = -\frac{\partial p}{\partial z} + \frac{\partial\tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zz}}{\partial z} + \rho f_{z} \]

上面的分量形式仍然有很多和流体相关的项需要讨论。

以 \(x\) 方向为例，展开左侧第一项的微分，第二项的算子，有

\[\bigg(\rho\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial \rho}{\partial t}\bigg) + \bigg( u\nabla\cdot \rho U + \rho U \cdot \nabla u \bigg)\]

根据之前讨论的守恒型微分形式的连续性方程，有

\[ \rho \frac{\partial u}{\partial t} + u\underbrace{\bigg( \frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\rho U \bigg)}_{=0} + \rho U\cdot\nabla u \]

所以 NS 方程也可以写成

\[ \rho \frac{\partial u}{\partial t} + \rho U\cdot\nabla u = -\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z} + \rho f_{x} \]\[ \rho \frac{\partial v}{\partial t} + \rho U\cdot\nabla v = -\frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zy}}{\partial z} + \rho f_{y} \]\[ \rho \frac{\partial w}{\partial t} + \rho U\cdot\nabla w = -\frac{\partial p}{\partial z} + \frac{\partial\tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zz}}{\partial z} + \rho f_{z} \]

1.2. 流体切应力

到了 17 世纪末，牛顿指出，流体的切应力与应变的时间变化率（也就是速度梯度）成正比，这样的流体也被称为牛顿流体 。

对于牛顿流体，斯托克斯得到有

\[\tau_{xx} = \lambda(\nabla\cdot U) + 2\mu\frac{\partial u}{\partial x}\]

\[\tau_{yy} = \lambda(\nabla\cdot U) + 2\mu\frac{\partial v}{\partial y}\]

\[\tau_{zz} = \lambda(\nabla\cdot U) + 2\mu\frac{\partial w}{\partial z}\]

\[\tau_{xy} = \tau_{yx} = \mu(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y})\]

\[\tau_{xz} = \tau_{zx} = \mu(\frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x})\]

\[\tau_{yz} = \tau_{zy} = \mu(\frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z})\]

其中，\(\mu\) 是分子粘性系数，\(\lambda\) 是第二粘性系数，斯托克斯进一步假设有

\[\lambda = -\frac{2}{3}\mu\]

将此物性关系的假设代入可以获得完整动量方程。这里不再展开书写。

2. 张量形式

方程的分量形式非常繁琐，不利于理论表达和分析，我们采用张量形式，再次进行分析推导和表达。

根据牛顿第二定理，动量变化率等于作用力，即

\[\bigg(\frac{d(mU)}{dt}\bigg)_{MV} = \bigg(\int_V \vec{F} dV\bigg)_{MV}\]

此处的作用力 \(\vec{F}\) 包含所有体积力和表面力。

根据【雷诺输运定理】即

\[ \bigg(\frac{dB}{dt}\bigg)_{MV} = \int_V\bigg[\frac{\partial}{\partial t}(\rho b) + \nabla \cdot (\rho U b)\bigg]dV = \int_V\bigg[\frac{D}{D t}(\rho b) + \rho b \nabla \cdot U\bigg]dV \]

其中

\[ b = \frac{B}{m} = U \]

动量方程可以按照上式右侧形式，分别整理为守恒型和非守恒型的方程。

2.1. 非守恒型

对于非守恒型方程，有

\[\int_V\bigg[\frac{D}{D t}(\rho U) + \rho U \nabla \cdot U\bigg]dV - \int_V \vec{F} dV = 0\]

整理可得

\[\int_V\bigg[\frac{D}{D t}(\rho U) + \rho U \nabla \cdot U - \vec{F}\bigg]dV = 0\]

进一步整理有

\[\frac{D}{D t}(\rho U) + \rho U \nabla \cdot U = \vec{F}\]

展开第一项的全微分，有

\[(\rho\frac{DU}{Dt} + U\frac{D\rho}{Dt}) + \rho U \nabla \cdot U = \vec{F}\]

整理为

\[\rho\frac{DU}{Dt} + U\underbrace{(\frac{D\rho}{Dt} + \rho \nabla \cdot U)}_{=0} = \vec{F}\]

注意左侧第二项括号内是非守恒型微分形式的连续性方程，应该等于零

所以最后有

\[\rho\frac{DU}{Dt}= \vec{F}\]

根据物质导数，展开有

【非守恒型微分形式动量方程】

\[\rho\frac{\partial U}{\partial t} + \rho U\cdot \nabla U= \vec{F}\]

可以看到，该方程和前文的分量形式讨论是一致的。

2.2. 守恒型

对于守恒型方程，有

\[\int_{V}\bigg[\frac{\partial}{\partial t}(\rho U) + \nabla \cdot (\rho U U)\bigg]dV - \int_{V} \vec{F} dV = 0\]

整理可得

\[\frac{\partial}{\partial t}(\rho U) + \nabla \cdot (\rho UU) = \vec{F}\]

可以看到，该式和前文的分量形式的讨论是一致的。

2.3. 受力构成

受力可以分成表面力和体积力

\[\vec{F} = \vec{F_{s}} + \vec{F_{b}}\]

表面力

表面力等于总应力张量和面矢量的乘积

\[d\vec{F_{s}} = \Sigma \cdot d\vec S = \Sigma\cdot \vec{n} dS\]

使用 \(\Sigma\) 表示总应力张量（total stress tensor)（完整包含单位面积的压力和单位面积的粘性力）

\[\Sigma = \begin{bmatrix} \Sigma_{xx} & \Sigma_{xy} & \Sigma_{xz} \\ \Sigma_{yx} & \Sigma_{xx} & \Sigma_{yz} \\ \Sigma_{zx} & \Sigma_{zy} & \Sigma_{zz} \end{bmatrix}\]

• 相同下标 \(\Sigma_{ii}\) 表示法向应力，大于零为受拉（tension），小于零为受压（compression）。产生法向应力的主要物理原因是压力，很小一部分原因才是粘性
• 不同下标 \(\Sigma_{ij}\) 表示切向应力，表示 \(i\) 面上 \(j\) 方向（\(i\) 面为垂直 \(i\) 方向的面，与分量形式的约定一样），约定如果面的外法向为正，则 \(i\) 为正。导致切向应力的物理原因是粘性

\[ \Sigma = - \begin{bmatrix} p & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & p \end{bmatrix} + \begin{Bmatrix} \tau_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \tau_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \tau_{zz} \end{Bmatrix}\]

整理为

\[\Sigma =\begin{Bmatrix} \tau_{xx} - p & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \tau_{yy}-p & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \tau_{zz} - p \end{Bmatrix} = -p\vec I + \vec{\tau}\]

也就是前面说的压力和粘性力之和。

参考前文（00_intro-cfdb）的讨论，矩阵可以分解成体部分和偏部分，有

\[ \Sigma = \Sigma^{hyd} + \Sigma^{dev} \]

显然，体部分就是压力矩阵，即

\[ -p\vec{I} = |\Sigma^{hyd}|\vec{I} = \frac{1}{3}tr(\Sigma)\vec{I} \]

进一步的，有

\[ \Sigma = -p\vec{I} + \underbrace{ \bigg[\Sigma- \frac{1}{3}tr(\Sigma)\vec{I} \bigg]}_{viscous-stress} \]

也有

\[ \Sigma = \frac{1}{3}tr(\Sigma) + dev(\Sigma) \]

分析可知，总应力张量的偏部分就是粘性力张量。

所以表面力为

\[\int_{V}\vec F_{s}dV = \int_{\partial V} \Sigma\cdot \vec n dS\]

利用散度定理

\[\int_{\partial V} \Sigma\cdot \vec n dS = \int_V\nabla\cdot\Sigma dV\]

对应可得表面力为

\[\vec F_{S} = \nabla\cdot\Sigma = -\nabla p + \nabla\cdot \tau\]

继续讨论其中的粘性力部分

对于牛顿流体来说，根据前文的讨论，我们知道有本构关系

\[\vec{\tau} = \mu [\nabla U + (\nabla U)^T] + \lambda(\nabla\cdot U)\vec I\]

斯托克斯假设有

\[\lambda = - \frac{2}{3} \mu \]

代入后的粘性力为

\[ \vec{\tau} = \mu [\nabla U + (\nabla U)^{T}] - \frac{2}{3}\mu (\nabla\cdot U)\vec I \]

如果是不可压缩流体，根据之前的讨论，有

\[\nabla\cdot U = 0\]

粘性力简化为

\[\vec{\tau} = \mu [\nabla U + (\nabla U)^T]\]

结合这些讨论，也就可以理解为什么 \(\lambda(\nabla\cdot U)\) 这一项也被为体积膨胀率。

此时引入应变率（strain rate），也被称为形变率，可以表示成速度的函数

\[ \begin{align*} S &= \begin{bmatrix} S_{xx} &S_{xy} &S_{xz}\\ S_{yx} &S_{yy} &S_{yz}\\ S_{zx} &S_{zy} &S_{zz} \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial x}\right)& \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}\right)& \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x}\right)\\ \frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}\right)& \frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y}\right)& \frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial y}\right)\\ \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial z}\right)& \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z}\right)& \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial z}\right)\\ \end{bmatrix} \end{align*} \]

写成矢量形式

\[ S = \frac{1}{2} (\nabla U + \nabla U^{T}) \]

粘性力表达为

\[ \vec{\tau} = 2\mu S \]

注意 \(\mu\) 仍然是流体粘度，是流体的物理属性。

体积力

主要是重力

\[\vec F_{b} = \rho \vec g\]

对于旋转系统来说，体力还来自于科里奥利力 和向心力

\[\vec F_{b} = -2\rho[\omega \times U] - \rho [\omega\times[\omega\times\vec r]] \]

一般来说，重力和向心力都和位置有关，和速度无关，所以会归在压力修正项中。科里奥利力会单独处理。体积力像是还有电磁力电场力等多种类型，针对具体问题需要增加不同的体积力。下面方程中的体积力只考虑重力。

2.4. NS 方程

考虑一般情况，将受力项的细节代入

\[\frac{\partial}{\partial t}(\rho U) + \nabla \cdot (\rho UU) = \vec{F}\]

得到较为完整形式的动量方程守恒型微分形式为（包含粘性力）

\[\frac{\partial}{\partial t}(\rho U) + \nabla \cdot (\rho UU) = -\nabla p + \nabla\cdot\vec{\tau} + \rho\vec{g}\]

在 OpenFOAM 中一般从完整形式考虑，写成

\[\frac{\partial}{\partial t}(\rho U) + \nabla \cdot (\rho UU) = -\nabla p + (\nabla\cdot rhoR^{eff}) + \rho\vec{g}\]

完整的流体粘性应力的张量形式为

\[\vec{\tau} = rhoR^{eff} = \mu [\nabla U + (\nabla U)^{T}] + \lambda(\nabla\cdot U)\vec I\]

展开成矩阵形式更加清楚

\[rhoR^{eff} = \begin{bmatrix} 2\mu\frac{\partial u}{\partial x} + \lambda\nabla\cdot U & \mu(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}) & \mu(\frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x}) \\ \mu(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}) & 2\mu\frac{\partial v}{\partial y} + \lambda(\nabla\cdot U) & \mu(\frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z}) \\ \mu(\frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x}) & \mu(\frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z}) & 2\mu\frac{\partial w}{\partial z} + \lambda(\nabla\cdot U) \end{bmatrix}\]

代入动量方程守恒型微分形式，得到

\[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho U) + \nabla \cdot (\rho UU) = -\nabla p + \nabla\cdot[\mu (\nabla U + (\nabla U)^T)] + \nabla(\lambda\nabla\cdot U) + \rho\vec{g} \]

其中应力张量的散度为，物理上表示流体的粘性力作用

\[ \nabla\cdot\vec{\tau}=\nabla\cdot[\mu (\nabla U + (\nabla U)^{T})] = \nabla\cdot(\mu\nabla U) + \nabla\cdot[\mu (\nabla U)^{T}] \]

整理为

\[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho U) + \nabla \cdot (\rho UU) = \nabla\cdot(\mu\nabla U)-\nabla p + \nabla\cdot[\mu (\nabla U)^T] + \nabla(\lambda\nabla\cdot U) + \rho\vec{g} \]

对于更一般的情况，将右边后三项统一为广义源项，整理为

\[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho U) + \nabla \cdot (\rho UU) = \nabla\cdot(\mu\nabla U)-\nabla p + Q \]

可以看到粘性力作用一部分作为扩散项，表现为动量的扩散。另一部分作为广义源项，表现为动量的损失。

将压力项也纳入源项，整理成更通用的形式为

\[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho U) + \nabla \cdot (\rho UU) = \nabla\cdot(\mu\nabla U) + Q \]

即得到瞬态项、对流项、扩散项和源项。

3. 补充讨论

对于不可压缩流体

\[\nabla\cdot U = 0\]

动量方程简化为

\[\frac{\partial}{\partial t}(\rho U) + \nabla \cdot (\rho UU) = -\nabla p + \nabla\cdot[\mu (\nabla U + (\nabla U)^T)] + \cancel{\nabla(\lambda\nabla\cdot U)} + \rho\vec{g} \]

对于牛顿流体，有剪切应力 \(\vec{\tau}\) 线性相关于形变率 \(S\) （矢量）为线性，即

\[ \vec{\tau} = 2\mu S = \mu(\nabla U + (\nabla U)^{T}) \]

结合 Boussnesq 假设，密度变化仅仅对浮力起作用，其他项中的密度变化可以忽略，甚至如果这里就是不可压缩流体，则有

\[\begin{align*} \frac{\partial}{\partial t}(\rho U) + \nabla \cdot (\rho UU) &= -\nabla p + \nabla\cdot[\mu (\nabla U + (\nabla U)^T)] + \cancel{\nabla(\lambda\nabla\cdot U)} + \rho\vec{g} \\ \frac{\partial U}{\partial t} + \nabla \cdot (UU) - \nabla \cdot[\nu(\nabla U + (\nabla U)^{T}] &= - \frac{1}{\rho} \nabla p + \vec{g} \\ \frac{\partial U}{\partial t} + \nabla \cdot (UU) - \nabla \cdot (\frac{\vec{\tau}}{\rho}) &= - \frac{1}{\rho} \nabla p + \vec{g} \\ \frac{\partial U}{\partial t} + \nabla \cdot (UU) - \nabla \cdot R^{eff} &= - \frac{1}{\rho} \nabla p + \vec{g} \end{align*}\]

如果此时粘性系数 \(\mu\) 为常数，动量方程可以整理简化

粘性应力张量的散度为

\[\begin{aligned} \nabla\cdot \vec{\tau} &= \nabla\cdot[\mu (\nabla U + (\nabla U)^T)] + \nabla(\lambda\nabla\cdot U) \\ &= \begin{Bmatrix} \frac{\partial}{\partial x}[2\mu\frac{\partial u}{\partial x} + \lambda\nabla\cdot U] + \frac{\partial}{\partial y}[\mu(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y})] +\frac{\partial}{\partial z}[\mu(\frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x})] \\ \frac{\partial}{\partial x}[\mu(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y})] + \frac{\partial}{\partial y}[2\mu\frac{\partial v}{\partial y} + \lambda(\nabla\cdot U)] + \frac{\partial}{\partial z}[\mu(\frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z})] \\ \frac{\partial}{\partial x}[\mu(\frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x})] + \frac{\partial}{\partial y}[\mu(\frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z})] +\frac{\partial}{\partial z}[2\mu\frac{\partial w}{\partial z} + \lambda(\nabla\cdot U)] \end{Bmatrix} \end{aligned}\]

以 应力张量散度 的第一行为例，此时

\[\begin{align*} (\nabla\cdot\tau)_{col1} &= \frac{\partial}{\partial x}[2\mu\frac{\partial u}{\partial x} + \cancel{\lambda\nabla\cdot U}] + \frac{\partial}{\partial y}[\mu(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y})] +\frac{\partial}{\partial z}[\mu(\frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x})]\\ &= \frac{\partial}{\partial x}[2\mu\frac{\partial u}{\partial x}] + \mu\frac{\partial}{\partial y}[(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y})] +\mu\frac{\partial}{\partial z}[(\frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x})]\\ &= \mu[(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}) + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial xy} + \frac{\partial^2 w}{\partial xz}]\\ &= \mu[(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}) + \frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z})]\\ &= \mu[(\nabla^2 u) + \cancel{\frac{\partial }{\partial x}(\nabla\cdot U)}]\\ \end{align*} \]

因为流体不可压缩，密度不变，第二项为零，所以动量方程进一步简化为

\[\frac{\partial \rho U}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho UU) = -\nabla p + \mu \nabla^2U + \rho\vec{g}\]

如果流体没有粘性，粘性项可以进一步省略，即

\[ \frac{\partial\rho U}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho UU) = -\nabla p + \rho\vec{g} \]

4. 小结

本文完成讨论

• 动量方程的推导
• 不同角度的推导
• 理解数学表达的物理意义

References

[1] The Finite Volume Method in Computational Fluid Dynamics, https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-16874-6

[2] Computational fluid dynamics : the basics with applications, https://searchworks.stanford.edu/view/2989631

[3] Mathematics, Numerics, Derivations and OpenFOAM®, https://holzmann-cfd.com/community/publications/mathematics-numerics-derivations-and-openfoam-free

[4] Notes on Computational Fluid Dynamics: General Principles, https://doc.cfd.direct/notes/cfd-general-principles/

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